Теория · Математика

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия переводит чертеж в уравнения: прямая, окружность и парабола становятся формулами, и задачу можно решать алгеброй, не рисуя.

Точки и прямые

Расстояние между точками: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Середина отрезка: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
Уравнение прямой: y = kx + b, где k — угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона.
Параллельность: k₁ = k₂. Перпендикулярность: k₁ · k₂ = −1.
Расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0: |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).

Уравнение (x − a)² + (y − b)² = R² описывает окружность с центром (a, b) и радиусом R.

Если уравнение дано в раскрытом виде x² + y² + Dx + Ey + F = 0, центр и радиус находят выделением полного квадрата.

Каноническое уравнение y² = 2px: вершина в начале координат, фокус в точке (p/2, 0).
Для вида (x − h)² = 4p(y − k): вершина (h, k), фокус (h, k + p), директриса y = k − p.
У квадратичной функции y = ax² + bx + c вершина в точке x = −b/(2a).

Разобранный пример

Найдите фокус параболы (x − 2)² = 8(y + 1).

Сравниваем с видом (x − h)² = 4p(y − k): здесь h = 2, k = −1, 4p = 8, значит p = 2.
Вершина параболы: (2, −1).
Фокус смещен от вершины на p вдоль оси симметрии: (2, −1 + 2) = (2, 1).

Фокус в точке (2, 1). Знак у k берут из уравнения: в скобке стоит y + 1, значит k = −1.