Функции и графики
Функция — это правило, которое каждому входу дает ровно один выход. График делает это правило видимым, поэтому большинство задач решается не вычислением, а взглядом на картинку.
Область определения
Область определения — все значения x, при которых выражение имеет смысл. Три запрета, из которых состоят почти все задачи: не делить на ноль, не брать корень четной степени из отрицательного, не логарифмировать неположительное.
- Дробь: знаменатель ≠ 0.
- Корень: подкоренное выражение ≥ 0.
- Логарифм: аргумент > 0, основание > 0 и ≠ 1.
Четность и нечетность
Это симметрия. Четная функция симметрична относительно оси Oy, нечетная — относительно начала координат. Проверка всегда одна: подставьте −x.
f(−x) = f(x) — четная. f(−x) = −f(x) — нечетная. Ни то ни другое — тоже нормальный ответ, и встречается он чаще всего.
- Четные: x², x⁴, |x|, cos x, 1/x².
- Нечетные: x, x³, sin x, tg x, 1/x.
- Ни четные, ни нечетные: eˣ, x + 1, x² + x.
- Правило произведения: четная · четная = четная, нечетная · нечетная = четная, четная · нечетная = нечетная. Поэтому x · sin x четная.
- Область определения обязана быть симметричной относительно нуля, иначе о четности говорить нельзя.
Преобразования графика
- y = f(x) + b — сдвиг вверх на b.
- y = f(x − a) — сдвиг вправо на a (знак минус, а сдвиг вправо — тут ошибаются чаще всего).
- y = −f(x) — отражение относительно оси Ox; y = f(−x) — относительно оси Oy.
- y = k · f(x) при k > 1 растягивает график по вертикали, при 0 < k < 1 сжимает.
Обратная и сложная функция
Сложная функция f(g(x)) сначала применяет g, потом f. Область определения у нее двойная: сначала должно быть определено g(x), а потом это значение должно годиться для f.
Обратная функция меняет вход и выход местами; ее график симметричен исходному относительно прямой y = x.
Разобранный пример
Найдите область определения функции f(g(x)), если f(x) = 1/x, а g(x) = x² − 4.
- Сначала считаем композицию: f(g(x)) = 1/(x² − 4).
- Запрет один: знаменатель не равен нулю. x² − 4 ≠ 0.
- Отсюда x² ≠ 4, то есть x ≠ 2 и x ≠ −2.
Все действительные числа, кроме 2 и −2. Ответ «x ≠ 2» неполный: квадрат дает два корня.
Что помнить
- Область определения — это три запрета: деление, корень, логарифм.
- Четность проверяется подстановкой −x, а не на глаз.
- f(x − a) сдвигает график вправо, а не влево.
- У сложной функции ограничения складываются: и внутренней, и внешней.