Планиметрия и стереометрия
Планиметрия — фигуры на плоскости, стереометрия — тела в пространстве. Задачи решают не формулами, а рисунком: почти всегда сначала чертеж, потом уже вычисления.
Треугольник
- Площадь: S = ½ · основание · высота = ½ ab · sin C.
- Теорема Пифагора для прямоугольного: c² = a² + b².
- Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab · cos C. Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = 2R.
- Сумма углов треугольника 180°, внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних.
Окружность и многоугольники
- Длина окружности 2πR, площадь круга πR², площадь сектора πR² · α/360°.
- Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Угол, опирающийся на диаметр, прямой.
- Площадь параллелограмма ab · sin α, трапеции — полусумма оснований на высоту.
Объемы и поверхности
- Призма и цилиндр: V = S основания · h.
- Пирамида и конус: V = ⅓ · S основания · h.
- Шар: V = (4/3)πR³, площадь сферы 4πR².
- Боковая поверхность конуса πRl, где l — образующая, причем l² = R² + h².
Подобие
Если фигуры подобны с коэффициентом k, то длины относятся как k, площади — как k², объемы — как k³. Это правило закрывает больше задач, чем кажется.
Разобранный пример
Конус имеет радиус основания 3 и высоту 4. Найдите его объем и площадь боковой поверхности.
- Объем: V = ⅓ · πR² · h = ⅓ · π · 9 · 4 = 12π.
- Образующая: l = √(R² + h²) = √(9 + 16) = 5.
- Боковая поверхность: S = πRl = π · 3 · 5 = 15π.
V = 12π, S боковой = 15π. Если подставить в площадь высоту вместо образующей, ответ будет 12π — типичная ошибка.
Что помнить
- Сначала чертеж, потом формула.
- Образующая конуса и высота — разные отрезки.
- У подобных фигур площади относятся как квадрат коэффициента, объемы — как куб.
- В формулах объема шара стоит радиус, а не диаметр.