Комплексные числа
Комплексные числа появились, чтобы у любого уравнения были корни. Договорились: есть число i, у которого i² = −1. Все остальное выводится из этого правила и обычной алгебры.
Форма записи и действия
Число записывают как z = a + bi: a — действительная часть, b — мнимая. Складывают и вычитают по частям, умножают как многочлены, помня, что i² = −1.
- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
- (a + bi)² = a² − b² + 2abi.
Сопряжение, модуль, деление
- Сопряженное к z = a + bi — это z̄ = a − bi.
- Произведение z · z̄ = a² + b² — всегда действительное число.
- Модуль: |z| = √(a² + b²) — расстояние от начала координат до точки (a, b).
- Деление: умножьте числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю.
Степени i и корни уравнений
- i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, дальше цикл повторяется. Чтобы найти iⁿ, делят n на 4 и смотрят остаток.
- Если у квадратного уравнения D < 0, корни комплексные и сопряженные: x = (−b ± i√|D|)/(2a).
Разобранный пример
Вычислите (3 + 2i)/(1 − i).
- Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, то есть на (1 + i).
- Знаменатель: (1 − i)(1 + i) = 1 − i² = 2.
- Числитель: (3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 3 + 5i − 2 = 1 + 5i.
- Делим: (1 + 5i)/2 = 0,5 + 2,5i.
0,5 + 2,5i. Смысл приема в том, что после умножения на сопряженное знаменатель становится обычным числом.
Что помнить
- i² = −1 — единственное новое правило темы.
- Деление делают умножением на сопряженное.
- Степени i повторяются с периодом 4.
- Отрицательный дискриминант дает пару сопряженных корней.