Логарифмы и показательная функция
Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень возвести основание, чтобы получить число». log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Показательная функция — та же связь, прочитанная с другой стороны.
Определение и ограничения
log_a b = c означает ровно a^c = b. Основание a должно быть положительным и не равным единице, аргумент b — строго положительным.
Эти ограничения и есть ОДЗ. Половина ошибок в теме — потерянное ОДЗ и посторонний корень.
Свойства
- log(xy) = log x + log y; log(x/y) = log x − log y.
- log xⁿ = n · log x; log_a a = 1; log_a 1 = 0.
- Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a.
- Основное тождество: a^(log_a b) = b.
Степени
- a^m · a^n = a^(m+n); a^m / a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(mn).
- a⁰ = 1 при a ≠ 0; a^(−n) = 1/aⁿ; a^(m/n) = ⁿ√(a^m).
- Показательное уравнение сводят к одинаковым основаниям: a^x = a^y равносильно x = y.
Неравенства
Если основание больше единицы, функция возрастает и знак неравенства сохраняется. Если основание между нулем и единицей, функция убывает и знак переворачивается. Это единственное, что нужно помнить дополнительно.
Разобранный пример
Решите уравнение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3.
- ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, значит x > 1.
- Складываем логарифмы: log₂((x − 1)(x + 1)) = 3, то есть log₂(x² − 1) = 3.
- По определению: x² − 1 = 2³ = 8, значит x² = 9 и x = ±3.
- Проверяем по ОДЗ: x = −3 не подходит, x = 3 подходит.
x = 3. Корень −3 отброшен не потому, что он отрицательный, а потому, что нарушает ОДЗ.
Что помнить
- Логарифм — это показатель степени, к которому сводится вся тема.
- ОДЗ пишут ДО решения, иначе посторонний корень попадет в ответ.
- log(x + y) не раскладывается: свойство работает для произведения.
- Основание меньше единицы переворачивает знак неравенства.