Прогрессия — это последовательность с правилом. В арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же. Задачи темы сводятся к четырем формулам.
Арифметическая прогрессия
Общий член: aₙ = a₁ + (n − 1)d, где d — разность.
Сумма: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n(2a₁ + (n − 1)d)/2.
Характеристическое свойство: каждый член — среднее арифметическое соседей.
Геометрическая прогрессия
Общий член: bₙ = b₁ · q^(n−1), где q — знаменатель.
Сумма n членов: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии при |q| < 1: S = b₁/(1 − q).
Характеристическое свойство: квадрат члена равен произведению соседей.
Полезные суммы
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Сумма первых n нечетных чисел равна n².
Количество членов от a до b с шагом d: n = (b − a)/d + 1. Единицу забывают постоянно.
Разобранный пример
Найдите сумму первых 25 членов последовательности 4, 7, 10, …
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 4, d = 3.
Двадцать пятый член: a₂₅ = 4 + 24 · 3 = 76.
Сумма: S₂₅ = 25 · (4 + 76)/2 = 25 · 40 = 1000.
1000. Второй путь — сразу по формуле S = n(2a₁ + (n − 1)d)/2, ответ тот же.
Что помнить
Разность прибавляют (n − 1) раз, а не n.
В формуле суммы n — количество членов.
Бесконечная сумма существует только при |q| < 1.
Считая количество членов промежутка, прибавляйте единицу.