Производная и пределы
Производная — это скорость изменения функции, то есть наклон касательной в точке. Если производная положительна, функция растет; отрицательна — убывает. Почти вся тема про это.
Таблица производных
- (c)' = 0; (x)' = 1; (xⁿ)' = n · x^(n−1).
- (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x.
- (eˣ)' = eˣ; (ln x)' = 1/x; (aˣ)' = aˣ · ln a.
Правила
- Сумма: (u + v)' = u' + v'.
- Произведение: (uv)' = u'v + uv'. Это не произведение производных.
- Частное: (u/v)' = (u'v − uv')/v².
- Сложная функция: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).
Исследование функции
Схема одна: находим производную, приравниваем нулю, отмечаем точки на прямой и смотрим на знаки.
Экстремум там, где производная меняет знак. Плюс на минус — максимум, минус на плюс — минимум. Если знак не меняется, экстремума нет, хотя производная и равна нулю.
- Уравнение касательной в точке x₀: y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).
- Физический смысл: производная координаты по времени — скорость, производная скорости — ускорение.
Пределы
- Замечательный предел: sin x / x → 1 при x → 0.
- Неопределенность 0/0 в дробях с многочленами снимается разложением на множители и сокращением.
- При x → ∞ у отношения многочленов смотрят на старшие степени.
Разобранный пример
Найдите точки экстремума функции f(x) = x³ − 3x.
- Производная: f'(x) = 3x² − 3.
- Приравниваем нулю: 3x² − 3 = 0, значит x = ±1.
- Знаки f' на промежутках: при x < −1 плюс, между −1 и 1 минус, при x > 1 снова плюс.
- Смена плюса на минус в точке −1 — максимум; смена минуса на плюс в точке 1 — минимум.
Максимум при x = −1, минимум при x = 1. У функции x³ производная тоже обращается в ноль, но знак не меняется — экстремума там нет.
Что помнить
- Производная — наклон касательной и скорость изменения.
- (uv)' = u'v + uv', а не u'v'.
- Ноль производной — только кандидат в экстремум, решает смена знака.
- Сложная функция требует множителя — производной внутренней части.