Тригонометрия
Тригонометрия описывает то, что повторяется: волну, колебание, вращение. В прямоугольном треугольнике синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего к гипотенузе. Дальше это переносят на окружность и получают функции для любого угла.
Единичная окружность и знаки
Возьмите окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка на ней, повернутая на угол x, имеет координаты (cos x, sin x). Отсюда сразу видны и знаки, и то, почему значения не выходят за отрезок от −1 до 1.
Четверть определяет знак. В первой все положительно, во второй только синус, в третьей только тангенс и котангенс, в четвертой только косинус.
- sin²x + cos²x = 1 — это теорема Пифагора для точки на окружности.
- tg x = sin x / cos x, определен там, где cos x ≠ 0.
- Период синуса и косинуса — 2π, период тангенса — π.
Формулы, которые придется знать наизусть
- Двойной угол: sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1.
- Сложение: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b; cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b.
- Опорные значения: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2. Косинус читается наоборот: cos 30° = √3/2.
- Формулы приведения проще запомнить правилом: угол вида 180° ± x функцию не меняет, угол вида 90° ± x меняет синус на косинус.
Как решают уравнения
Обычный путь: свести все к одной функции одного угла, потом решить как алгебраическое уравнение. Если в уравнении есть и sin x, и cos 2x, сначала раскройте двойной угол через синус.
Ответ в тестовом формате — это чаще всего конкретное значение, а не серия корней, но проверять четверть все равно нужно.
Разобранный пример
Известно, что sin x = 5/13 и x лежит во второй четверти. Найдите cos x и sin 2x.
- Из основного тождества: cos²x = 1 − (5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169.
- Значит cos x = ±12/13. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому cos x = −12/13.
- sin 2x = 2 sin x cos x = 2 · (5/13) · (−12/13) = −120/169.
cos x = −12/13, sin 2x = −120/169. Четверть здесь решает все: без нее знак был бы взят наугад.
Что помнить
- sin²x + cos²x = 1 — из нее выводится половина задач.
- Знак определяет четверть, а не формула.
- cos 2x имеет три записи, выбирайте ту, где остается нужная вам функция.
- Перед сокращением на cos x проверьте, что он не равен нулю.