Уравнения и неравенства
Уравнение спрашивает, при каких x две части равны. Неравенство — при каких одна больше другой. Разница в одном: у неравенства ответ почти всегда промежуток, и знак умеет переворачиваться.
Квадратное уравнение
Уравнение ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант D = b² − 4ac. Корни: x = (−b ± √D) / (2a).
- D > 0 — два разных корня, D = 0 — один (двойной), D < 0 — действительных корней нет.
- Теорема Виета: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a. В тестах она быстрее дискриминанта.
- Разложение: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
Метод интервалов
Главный способ для неравенств. Переносим все в одну часть, раскладываем на множители, отмечаем нули на прямой и расставляем знаки по промежуткам.
Знак меняется при переходе через простой корень и не меняется при переходе через корень четной кратности.
- Нули знаменателя всегда выколоты, даже если знак неравенства нестрогий.
- Умножать неравенство на выражение с неизвестным нельзя: его знак неизвестен. Приводите к общему знаменателю.
Модуль и корень
- |x| < a равносильно −a < x < a; |x| > a равносильно x < −a или x > a.
- Уравнение с корнем решают возведением в квадрат, но затем обязательно подставляют корни обратно: часть из них посторонние.
- √(x²) = |x|, а не x. Про это забывают почти все.
Разобранный пример
Решите неравенство (x² − 8x + 12) < 0.
- Найдем нули: D = 64 − 48 = 16, корни x = (8 ± 4)/2, то есть 2 и 6.
- Парабола ветвями вверх, значит между корнями она ниже оси.
- Отрицательные значения — на промежутке от 2 до 6, концы не входят: неравенство строгое.
2 < x < 6. Если бы знак был «больше нуля», ответ распался бы на два луча.
Что помнить
- Дискриминант дает количество корней, Виета — быстрый ответ в уме.
- Неравенство решается методом интервалов, а не переносом «на глаз».
- После возведения в квадрат проверяйте корни подстановкой.
- Деление на выражение с неизвестным теряет корни, вынесение множителя — нет.