Векторы
Вектор — это стрелка: длина плюс направление. Его придумали, чтобы одним объектом описывать то, у чего мало одного числа: скорость, силу, перемещение. Пять километров — это число, пять километров на север — вектор.
Координаты и длина
Вектор задают координатами. Если он идет из точки A(x₁, y₁) в точку B(x₂, y₂), то его координаты — это конец минус начало: AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁).
Где стрелку нарисовали, значения не имеет. Два вектора равны, если у них одинаковые координаты, даже если они лежат в разных углах чертежа.
- Длина вектора a = (x, y): |a| = √(x² + y²) — это теорема Пифагора для стрелки.
- Нулевой вектор (0, 0) не имеет направления, его длина равна нулю.
Сложение, вычитание, умножение на число
Складывают и вычитают векторы покоординатно: (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂). Геометрически это правило треугольника: приставили начало второго к концу первого, результат — от начала первого к концу второго.
Умножение на число k растягивает вектор в k раз и не меняет направления, если k > 0. Отрицательное k разворачивает вектор в обратную сторону.
- k · (x, y) = (kx, ky), при этом |k · a| = |k| · |a|.
- Вычитание a − b — это a + (−b), то есть вектор, ведущий из конца b в конец a.
Скалярное произведение
Скалярное произведение — главный инструмент темы. Оно превращает два вектора в одно число и отвечает на вопрос про угол между ними.
Две формулы, и они всегда дают одно и то же: a · b = x₁x₂ + y₁y₂ (по координатам) и a · b = |a| · |b| · cos φ (через угол).
- Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a · b = 0. Это самый частый вопрос экзамена.
- Косинус угла между векторами: cos φ = (a · b) / (|a| · |b|).
- Знак скалярного произведения говорит про угол: плюс — угол острый, ноль — прямой, минус — тупой.
Коллинеарность
Два вектора коллинеарны, если лежат на параллельных прямых, то есть один получается из другого умножением на число: a = λ · b.
- Признак в координатах: x₁y₂ = x₂y₁. Иначе говоря, координаты пропорциональны.
- Три точки A, B, C лежат на одной прямой, если векторы AB и AC коллинеарны.
Разобранный пример
Даны точки A(1, 2), B(4, 6) и C(7, 3). Найдите угол между векторами AB и AC.
- Координаты векторов: AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4), AC = (7 − 1, 3 − 2) = (6, 1).
- Скалярное произведение: AB · AC = 3 · 6 + 4 · 1 = 22.
- Длины: |AB| = √(9 + 16) = 5, |AC| = √(36 + 1) = √37.
- cos φ = 22 / (5 · √37) ≈ 22 / 30,4 ≈ 0,72.
- Угол φ = arccos 0,72 ≈ 44°.
Примерно 44 градуса. Скалярное произведение положительное, значит угол острый — это можно было сказать сразу после второго шага.
Что помнить
- Координаты вектора — конец минус начало.
- Длина — корень из суммы квадратов координат.
- Скалярное произведение — число: x₁x₂ + y₁y₂, оно же |a||b|cos φ.
- Ноль в скалярном произведении означает перпендикулярность.
- Пропорциональные координаты означают коллинеарность.