Вероятность и статистика
Вероятность — доля благоприятных исходов среди всех возможных. Она всегда между нулем и единицей. Статистика описывает готовые данные: среднее, медиану, разброс.
Классическое определение
P(A) = m/n, где n — общее число равновозможных исходов, m — число благоприятных. Главное здесь — правильно посчитать n.
При броске двух костей исходов 36, а не 12: кости различимы, и пара (1, 2) отличается от (2, 1).
- Противоположное событие: P(не A) = 1 − P(A). Через него считают все задачи со словами «хотя бы один».
- Несовместные события: P(A или B) = P(A) + P(B).
- В общем случае: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).
- Независимые события: P(A и B) = P(A) · P(B).
Комбинаторика
- Перестановки n элементов: n!.
- Размещения (порядок важен): A(n, k) = n!/(n − k)!.
- Сочетания (порядок не важен): C(n, k) = n!/(k!(n − k)!).
- Вопрос, который отличает одно от другого: если поменять выбранные объекты местами, получится другой результат или тот же?
Статистика
- Среднее — сумма делить на количество; чувствительно к выбросам.
- Медиана — середина упорядоченного ряда; при четном количестве это полусумма двух средних.
- Мода — самое частое значение, их может быть несколько.
- Размах — разность наибольшего и наименьшего.
Разобранный пример
Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков — простое число?
- Всего исходов: 6 · 6 = 36.
- Простые суммы в диапазоне от 2 до 12: 2, 3, 5, 7, 11.
- Считаем количество способов: 2 — один способ, 3 — два, 5 — четыре, 7 — шесть, 11 — два.
- Итого благоприятных: 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15.
- Вероятность: 15/36 = 5/12.
5/12, примерно 0,42. Если считать исходы неупорядоченными парами, получится 21 исход и неверный ответ.
Что помнить
- Сначала честно посчитайте общее число исходов.
- «Хотя бы один» считают через противоположное событие.
- Сочетания против размещений — вопрос про важность порядка.
- Вероятность не бывает больше единицы: это первая проверка ответа.